TRAJECTOIRE

Soit un point matériel lancé obliquement avec une vitesse V selon un angle d'envol alpha . On peut exprimer les composantes de V : Vy ou vitesse verticale et Vx vitesse horizontale ainsi :

(1) Vx = V* cos alpha
(2) Vy = V* sin alpha.
Si Vy exprime la vitesse verticale au départ; après un temps t elle sera de :
Vy = V* sin alpha - (g*t)/2 et la hauteur atteinte après ce temps t aura une valeur particulière sur l'axe des Y telle que :

(4) Y = V*t* sin alpha - (g*t)/2

L'équation (1) permet de déterminer la distance horizontale parcourue en un même temps t sur l'axe des X telle que :
X = V* cos alpha*t d'où t = X/v*cos alpha, temps que l'on peut remplacer dans l'équation (4) qui devient :

Y = V*sin alpha*X/V*cos alpha - g*X²/2V*cos alpha

Y = X*tang alpha - g*X²/2V²*cos alpha

Cette équation est du type AX² + Bx , c'est donc celle d'une parabole. Quand le pointe matériel atteint sa hauteur maximale, la vitesse vertical Vv sera donc égale à zéro, ce qui permet d'écrire l'équation (3) ainsi :
0 = V*sin alpha - g*t d'où l'on déduit le temps mis pour atteidre le sommet de la parabole :t = V* sin alpha/g.

Il est tout aussi évident qu'à la fin de la trajectoire la hauteur sera nulle ce qui permet d'écrire l'équation (4) ainsi :
0 = V*sin alpha*t - (g*t²)/2 d'où l'on tire : t = 2V*sin alpha/g soit la durée de la trajectoire

L'équation (1) a permis de calculer la distance parcourue sur l'axe des X telle que X = Vx*t ; d'où :
X = (V*cos alpha*2V sin alpha) / g ; ou encore : X = (V²*2sin alpha*cos alpha)/g ; or, comme 2sin alpha*cos alpha = sin 2alpha, X = (V²*sin 2alpha)/g.

En conclusion, la distance sera maximum lorsque sin 2alpha atteindra sa valeur maximum ; c'est à dire lorsque 2alpha sera égal à 90° et donc alpha = à 45°. Si l'on considère g comme une constante, la portée sera donc dépendante du carré de la vitesse et de l'angle d'envol.

 

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